電磁気学2020.02.29 2020.10.09 shiderow

合成抵抗とは？計算の仕方などわかりやすく解説

電気回路の考え方が身に着いていれば、合成抵抗の問題が解けるようになります。

逆に、合成抵抗の計算を勉強すれば電気回路の考え方を学習する事が出来ます。

この記事では、合成抵抗とは？から直列接続と並列接続の合成抵抗の求め方を解説し、少し複雑な問題にこの考え方を応用するまでを説明しようと思います。

繰り返し読んで必ず理解するようにしましょう。

目次

1 合成抵抗とは
2 合成抵抗の計算
- 2.1 直列回路の合成抵抗の計算
- 2.2 並列回路の合成抵抗の計算
3 合成抵抗の問題
4 問題の解説
5 まとめ

合成抵抗とは

合成抵抗とは、回路の複数の抵抗をひとつにまとめたものになります。

よく見る例は直列回路や並列回路の合成抵抗で、図のように直列された2つの抵抗を1つとみなしたり、並列された2つの抵抗を1つとみなしたりします。

さらに、3つ以上の抵抗を接続していても、それを1つにまとめたものを合成抵抗という事もあります。

合成抵抗の計算

それでは複数の抵抗を1つにまとめた抵抗値の大きさの計算方法を説明していきます。

これは電気回路を勉強する上でとても大切な考え方になるので、必ず理解するようにして下さい。

直列回路の合成抵抗の計算

抵抗値 $R_{1}$ と $R_{2}$ の抵抗を直列に接続したときの合成抵抗を求めましょう。

また、直列回路では電流値 $I$ は一定になるので、閉回路1周の電圧降下の和はゼロになります。

$\begin{eqnarray*}0=V-R_{1}I-R_{2}I=V-(R_{1}+R_{2})I\end{eqnarray*}$

図のように2つの直列された抵抗を1つの抵抗とみなすので、直列回路は図のようになります。これも閉回路1周の電圧降下の和はゼロになるという性質を使って、

$\begin{eqnarray*}0=V-RI\end{eqnarray*}$

になります。以上の二式から合成抵抗 $R$ は、

$\begin{eqnarray*}R=R_{1}+R_{2}\end{eqnarray*}$

と求まります。

ここから、抵抗を直列に接続すると合成抵抗の抵抗値は、接続した抵抗の和になります。

並列回路の合成抵抗の計算

次に抵抗値 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ の抵抗を並列接続した時の合成抵抗の計算をしていきましょう。

ここで、抵抗1と抵抗2に流れる電流値を $I_{1}$ 、 $I_{2}$ が流れるとすると、両方の抵抗値の電圧降下は等しいので、

$\begin{eqnarray*}I_{1}&=&\frac{V}{R_{1}}\\\\I_{2}&=&\frac{V}{R_{2}}\end{eqnarray*}$

になります。つまり、回路全体に流れる電流値 $I$ は、

$\begin{eqnarray*}I&=&I_{1}+I_{2}\\\\&=&(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}})V\end{eqnarray*}$

になります。次に並列した抵抗をひとつの抵抗とみなし、合成抵抗を $R$ とすると、オームの法則より、

$\begin{eqnarray*}\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\end{eqnarray*}$

が成り立ちます。

つまり、並列回路の合成抵抗の逆数は、それぞれの抵抗の逆数の和になります。

合成抵抗の問題

問題

図の回路のように、抵抗値 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 、 $R_{3}$ の抵抗を並列接続したときの合成抵抗を求めてみましょう。

問題の解説

それぞれの抵抗に流れる電流値をそれぞれ $I_{1}$ 、 $I_{2}$ 、 $I_{3}$ とすると、並列回路の電圧は等しいので、

$\begin{eqnarray*}I_{1}&=&\frac{V}{R_{1}}\\\\I_{2}&=&\frac{V}{R_{2}}\\\\I_{3}&=&\frac{V}{R_{3}}\end{eqnarray*}$

になるので、全体に流れる電流値 $I$ は、

$\begin{eqnarray*}I&=&I_{1}+I_{2}+I_{3}\\\\&=&(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}})V\end{eqnarray*}$

になるので、オームの法則から、

$\begin{eqnarray*}\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\end{eqnarray*}$

になります。

まとめ

まとめ

合成抵抗・・・複数の抵抗をひとつにまとめたもの

直列回路の合成抵抗
$R=R_{1}+R_{2}$

並列回路の合成抵抗
$\displaystyle\frac{1}{R}=\displaystyle\frac{1}{R_{1}}+\displaystyle\frac{1}{R_{2}}$

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