誘電率ってなに?わかりやすく解説

今回は誘電率について解説していきます。

電気分野を勉強し始めたばかりの方は、誘電率と聞いてもピンとこないと思いますが、これはコンデンサーの問題を解くうえで非常に重要になります。

ここが理解できれば、電気分野の本質的な理解度も上がりますので、必ず理解するようにしましょう。

誘電率と比誘電率

誘電率とは

2極板を平行に向かい合わせた間隔d、面積Sのコンデンサーの電気容量は、S/dに比例します。

その比例定数を\varepsilonとすると、コンデンサーの電気容量は、

    \begin{eqnarray*}C=\varepsilon\frac{S}{d}\end{eqnarray*}

と表せ、比例定数\varepsilonを誘電率と言います。

電気容量は、「電荷を蓄える能力」のことであり、2枚極板の式「Q=CV」から、誘電率が大きいほど電荷が貯まりやすいという事が分かります。

この誘電率は、物質によって決まった値をとり、物質固有の値を持ちます。

真空の誘電率は\varepsilon_{0}と表します。

比誘電率とは

比誘電率とは、2つの媒質の誘電率の比のことです。

例えば、媒質1の誘電率が\varepsilon_{1}に対する、媒質2の誘電率\varepsilon_{2}の比誘電率を

    \begin{eqnarray*}\varepsilon_{r}=\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}\end{eqnarray*}

で表します。

誘電体外部に対する誘電体の比誘電率を\varepsilon_{r}とすると、誘電体内の電場E'は誘電体の外部の電場Eを用いて、

    \begin{eqnarray*}E'=\frac{E}{\varepsilon_r}\end{eqnarray*}

と表されます。

誘電率とコンデンサー

コンデンサーに誘電体を挿入する

入試で頻出なコンデンサーに誘電体を入れたときの考え方と理論を学習していきましょう。

そのために、まずは誘電分極を復習しましょう。

誘電分極とは「誘電体に外部電場Eをかけた時に、誘電体が電気的に分極する事」です。

この現象が起こることで、誘電体内で下から上向きに電場E''が発生します。

つまり、その発生した電場の分だけ外部電場が弱められるという事になります。

今回は、誘電率\varepsilon_{0}の真空中にあるコンデンサーの間に誘電率\varepsilonの誘電体を挿入した時を考え、真空に対する誘電体の比誘電率を\varepsilon_{r}とすると、誘電体内の電場E'

    \begin{eqnarray*}E'=E-E''\end{eqnarray*}

となります。

さらに、その電場は、

    \begin{eqnarray*}E'=\frac{E}{\varepsilon_{r}}\end{eqnarray*}

になるので、「V=Ed」から、

    \begin{eqnarray*}V'=\frac{V}{\varepsilon_{r}}\end{eqnarray*}

が分かります。

よって、誘電体を入れた場合のコンデンサーの電気容量は、

    \begin{eqnarray*}C'=\varepsilon_{r}\frac{S}{d}\end{eqnarray*}

になります。

ポイント

コンデンサーに誘電体を挿入すると

電気容量→\varepsilon_{r}

電位→1/\varepsilon_{r}

比誘電率は、外部に対する誘電体の誘電率としている。

コンデンサーに誘電体を挿入することによる電気回路の書き換え(直列編)

今度は、図のように誘電体を挿入したとしましょう。

この時、電気回路は次のように書き換えられます。

この時のそれぞれの領域の電場は、電気力線の本数から求めると、

    \begin{eqnarray*}& & E_{I}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}S}\\\\& & E_{I\hspace{-1pt}I}=\frac{Q}{\varepsilon S}\\\\& &E_{I\hspace{-1pt}I\hspace{-1pt}I}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}S}\end{eqnarray*}

になり、正極板から負の極板に向けてx軸を取り、正極板の位置を0、負の極板の位置をdとすると、それぞれの領域の位置おける電位は「V=Ed」より、

    \begin{eqnarray*}& & V_{I}=E_{I}\times x\\\\& & V_{I\hspace{-1pt}I}=V_{I}+E_{I\hspace{-1pt}I}\times(x-d_{1})\\\\& & V_{I\hspace{-1pt}I\hspace{-1pt}I}=V_{I\hspace{-1pt}I}+E_{I\hspace{-1pt}I\hspace{-1pt}I}\times(x-d_{1}-d_{2})\end{eqnarray*}

となり、V-xグラフは、次のようになります。

図をみて想像できるように、正極板から負の極板までの合計での電位の変化は変わらないため、誘電体をx軸方向に動かしても、コンデンサーには影響しないことが分かります。

つまり、最終的に電気回路は次のように書き換えても差し支えありません。

ここで注意するべきは、極板間距離が変わったので、電気容量は再度求め直すことです。

    \begin{eqnarray*}& & C_{I'}=\varepsilon_{0}\frac{S}{d_{1}+d_{3}}\\\\& & C_{I\hspace{-1pt}I'}=\varepsilon\frac{S}{d_{2}}\end{eqnarray*}

コンデンサーに誘電体を挿入することによる電気回路の書き換え(並列編)

次に図のように挿入しましょう。

この場合まず大切なことは、「導体内で電位は同じ」という事です。

つまり、極板間が誘電体であろうが、真空であろうが、電位差は同じという事になります。

つまり並列回路の考え方を使うことが出来るという事です。

この時に注意するべきは、極板の面積が変わるという事です。

電気容量は、

    \begin{eqnarray*}& & C_{I}=\varepsilon_{0}\frac{S_{1}}{d}\\\\& & C_{I\hspace{-1pt}I}=\varepsilon\frac{S_{2}}{d}\end{eqnarray*}

になります。

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誘電率の例題

問題

図のように誘電体を挿入したときの回路はどのように書き換えられるか?

例題の解答

直列つなぎ、並列つなぎを上記の通りに書き換えれば、以下のようになります。

他にも書き換え方はありますが、これが一番シンプルです。

なるべくこのように書けるようにしましょう。

まとめ

まとめ

誘電率\varepsilon・・・2極板の平行コンデンサーの電気容量とS/dの比例定数となる

比誘電率\varepsilon_{r}・・・異なる媒質の誘電率の比

コンデンサーに誘電体を挿入
電場→\varepsilon_{r}
電位→1/\varepsilon_{r}

かなり膨大な量になりましたが、これは非常に重要なので、反復して、必ず理解できるようにして下さい。


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