ドップラー効果をわかりやすく解説③:観測者が動く場合

当記事ではドップラー効果の「観測者が動く場合」について、公式の成り立ちからわかりやすく解説していきます。

前回の記事では音源が動く場合のドップラー効果の原理について、公式の導出の流れを画像を使いながらわかりやすく解説しました。前回の記事を読んでから先に進むとより理解度が深まるのでおすすめです。

前回の記事→ドップラー効果をわかりやすく解説②

では、早速本編に進みましょう!

観測者が動く場合のドップラー効果

まず、観測者が動く場合のドップラー効果がどのように起こるか、画像を使って説明しておきます。

観測者が止まっている場合はもちろん、常に一定の波長の音波を観測することになります。

画像の円の部分が音波の波面で、波面と波面の間の長さが波長です。音源が発する音が一定であれば、当然波長が変化することはありません。

では観測者が音源に近づいている場合を考えてみるとどうなるか?通常よりも通過する波面を多く観測することになります。

例えば画像のように、静止している場合は3つの波面を観測しますが近づく場合はさらに3つの波面が通過するため、合計で6個の波面を観測することになります。

逆に離れる場合は観測する波面の数が少なくなるため、音が低く聞こえるようになります。

観測者が動く場合のドップラー効果を式で表す

ドップラー効果の原理をイメージできたところで、

  1. 観測者が音源に近づくパターン
  2. 観測者が音源から離れるパターン

それぞれについて、イメージではなく式で表すにはどうするか?考えてみましょう。

パターン1:観測者が近づく場合

音速をV、音源の音波の波長を\lambda、振動数をf_sとした時、観測者が速さv_0で音源に近づいたとしましょう。

観測者が近づく場合は、観測者に対する音の相対速度が変化すると考えるのがわかりやすいです。観測者が音源に近づく場合、相対速度はv'=V+v_oになります。

この時観測者が観測する振動数f

f=\frac{V+v_o}{\lambda}・・・①

で表すことができます。

この時音源は静止しているため\lambda=\frac{V}{f_s}がなり立つため、①式に代入すると

f=\frac{V+v_o}{\frac{V}{f_s}}=\frac{V+v_o} {V}f_s

上記が観測者が近づく場合のドップラー効果の式です。

パターン2:観測者が離れる場合

では続いて観測者が離れる場合を考えましょう。観測者が音源から離れる場合、相対速度はv'=V-v_oになります。

この時観測者が観測する振動数f

f=\frac{V-v_o}{\lambda}・・・②

で表すことができます。

あとはパターン1の場合と同様\lambda=\frac{V}{f_s}がなり立つため、②式に代入すると

f=\frac{V-v_o}{\frac{V}{f_s}}=\frac{V+v_o} {V}f_s

上記が観測者が離れる場合のドップラー効果の式です。

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観測者が動く場合のドップラー効果の基本公式

パターン1とパターン2で導き出した式を、1つの公式にまとめると以下のようになります。

観測者が動く場合のドップラー効果の基本公式

f=\frac{V-v_o}{V}f_s

(音源が観測者に向かう向きを正とする)

観測者が近づく場合は-v_oを、離れる場合はv_oを代入すればパターン1、パターン2でのそれぞれの式を導くことができますね。

ドップラー効果の解説その④へ

観測者が動くパターンとドップラー効果の式を導出してみましたが、ぜひ今回解説した公式は自分でも導き出せるように練習してみてください。なぜ音が高くなったり低くなるか?をイメージしながら式を導くのが、得点力アップのコツです。

次の「ドップラー効果の解説その④」記事では音源と観測者のどちらもが動くパターンの公式について解説していきます!

「ドップラー効果の解説その④」に進む

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