コンデンサーってなに?公式と合わせてわかりやすく解説

今回は入試で頻出の範囲「コンデンサー」について学習していきましょう。

本記事では、大学受験で物理を使う人向けに、「コンデンサーとは何か?」を、コンデンサーに関する例題を交えながら解説します。

重要な公式にも触れていきます。

苦手意識がある人にもわかりやすいように解説していきますので、最後まで参考にしてみて下さい。

コンデンサーとは何か?

コンデンサーとは、「2枚の向かい合わせた極板に電圧を加えて、+Q \ [C]+Q \ [C]の電気を帯電させ、それらの引力により電荷を蓄えさせる装置」のことです。

「平行板コンデンサー」としてテキストによく出てきますが、それは平行に並べられた板状の導体が、より多くの電荷を蓄えるのに適した形状だからです。

(コンデンサーを電源につなぐと、電位差によって自由電子が移動し、電荷が貯まるという仕組みです。)

コンデンサーで扱う電気容量とは?

電気容量とは、コンデンサーが電荷を蓄える能力のことで、単位はファラド(F)と表します。

そして、電荷Q \ [C]、電位V \ [V]で表されるときに、電気量をC \ [F]とすると、

    \begin{eqnarray*}Q=CV\end{eqnarray*}

が成り立ちます。

ポイント

平行板コンデンサーに蓄えられる電荷

    \begin{eqnarray*}Q=CV\end{eqnarray*}

平行版コンデンサーの電気容量

真空中で、面積S \ [m^2]の極板を2枚、間隔d \ [m]で向かい合わせた平行板コンデンサーの正極版に+Q \ [C]、負極板に-Q \ [C]の電荷を蓄えた場合を考えます。

極板間の電位差をV \ [V]とすると、極板間の電場E \ [V/m]は、

    \begin{eqnarray*}E=\frac{V}{d}\end{eqnarray*}

と表せます。

ガウスの法則より、平行板コンデンサーの正極板による、正極板から負極板に出る電気力線の本数は

    \begin{eqnarray*}N_{+}=\frac{Q}{2\varepsilon_{0}}\end{eqnarray*}

であり、負極板による正極板から負極板に入る電気力線の本数は

    \begin{eqnarray*}N_{-}=\frac{Q}{2\varepsilon_{0}}\end{eqnarray*}

になります。

よって、極板間の電気力線の総本数は

    \begin{eqnarray*}N&=&N_{+}+N_{-}\\\\&=&\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\end{eqnarray*}

になり、これは一様に分布しているので、

    \begin{eqnarray*}& & E=\frac{N}{S}\\\\\Longleftrightarrow& & \frac{V}{d}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\\\\\Longleftrightarrow& & Q=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}V\end{eqnarray*}

となります。

つまり、電気容量を

    \begin{eqnarray*}C=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}\end{eqnarray*}

とすることで、Q=CVが成り立ちます。

ここでわかるように、Q=CVはガウスの法則や電場と電位の定義から導かれているので、Q=CVでは解けない問題は、ガウスの法則や電場と電位の定義式を考えるといいでしょう。

ポイント

平行板コンデンサーの電気容量Cは、極板面積Sに比例し、極板間dに反比例する。

    \begin{eqnarray*}C&=&\varepsilon_{0}\frac{S}{d}\\\\\varepsilon_{0}&=&\frac{1}{4\pi k_{0}}\end{eqnarray*}

コンデンサーに関する例題

問題

真空中に極板面積0.25 \ m^2、極板の間隔0.10 \ mmの平行板コンデンサーを置く。そのコンデンサーの電圧100 \ Vを加える。ただし、真空中の誘電率は\varepsilon_{0}=8.9\times10^{-12} \ F/mとする。

  1. コンデンサーの電気容量はいくらか
  2. 負の極板に蓄えられている電気量はいくらか

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例題の解答と解説

指針

  1. 電気容量の式Q=\varepsilon\frac{S}{d}を用います。
  2. コンデンサーに蓄えられる電気量QQ=CVの公式を用います。このとき、正極板には+Q、負極板には-Qの電気量が蓄えられます。

解答

  1. 計算問題です。

        \begin{eqnarray*}C&=&8.9\times10^{-12}\times\frac{0.25}{0.10\times10^{-3}}&=&2.2\times10^{-8} \ F\end{eqnarray*}

  2. これも計算問題です。

        \begin{eqnarray*}Q&=&2.2\times10^{-8}\times100\\\\&=&2.2\times10^{-6} \ C\end{eqnarray*}

まとめ

まとめ

コンデンサーとは、「2枚の向かい合わせた極板に電圧を加えて、+Q \ [C]+Q \ [C]の電気を帯電させ、それらの引力により電荷を蓄えさせる装置」

平行板コンデンサーに蓄えられる電荷 Q=CV

平行板コンデンサーの電気容量Cは、極板面積S、極板間隔dをもちいて、

    \begin{eqnarray*}C&=&\varepsilon_{0}\frac{S}{d}\\\\\varepsilon_{0}&=&\frac{1}{4\pi k_{0}}{\end{eqnarray*}

コンデンサーは、入試頻出の極めて重要な範囲です。

毎年必ず出題されるといっても過言ではありません。

しっかりと解説を読み込み、きちんと整理して覚えて、必ず解けるように何度も反復して練習するようにしましょう。


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