コンデンサーってなに？公式と合わせてわかりやすく解説

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今回は入試で頻出の範囲「コンデンサー」について学習していきましょう。

本記事では、大学受験で物理を使う人向けに、「コンデンサーとは何か？」を、コンデンサーに関する例題を交えながら解説します。

重要な公式にも触れていきます。

苦手意識がある人にもわかりやすいように解説していきますので、最後まで参考にしてみて下さい。

1 コンデンサーとは何か？
- 1.1 コンデンサーで扱う電気容量とは？
- 1.2 平行版コンデンサーの電気容量
2 コンデンサーに関する例題
3 例題の解答と解説
4 まとめ

コンデンサーとは何か？

コンデンサーとは、「2枚の向かい合わせた極板に電圧を加えて、 $+Q \ [C]$ 、 $+Q \ [C]$ の電気を帯電させ、それらの引力により電荷を蓄えさせる装置」のことです。

「平行板コンデンサー」としてテキストによく出てきますが、それは平行に並べられた板状の導体が、より多くの電荷を蓄えるのに適した形状だからです。

（コンデンサーを電源につなぐと、電位差によって自由電子が移動し、電荷が貯まるという仕組みです。）

コンデンサーで扱う電気容量とは？

電気容量とは、コンデンサーが電荷を蓄える能力のことで、単位はファラド $(F)$ と表します。

そして、電荷 $Q \ [C]$ 、電位 $V \ [V]$ で表されるときに、電気量を $C \ [F]$ とすると、

$\begin{eqnarray*}Q=CV\end{eqnarray*}$

が成り立ちます。

ポイント

平行板コンデンサーに蓄えられる電荷

$\begin{eqnarray*}Q=CV\end{eqnarray*}$

平行版コンデンサーの電気容量

真空中で、面積 $S \ [m^2]$ の極板を2枚、間隔 $d \ [m]$ で向かい合わせた平行板コンデンサーの正極版に $+Q \ [C]$ 、負極板に $-Q \ [C]$ の電荷を蓄えた場合を考えます。

極板間の電位差を $V \ [V]$ とすると、極板間の電場 $E \ [V/m]$ は、

$\begin{eqnarray*}E=\frac{V}{d}\end{eqnarray*}$

と表せます。

ガウスの法則より、平行板コンデンサーの正極板による、正極板から負極板に出る電気力線の本数は

$\begin{eqnarray*}N_{+}=\frac{Q}{2\varepsilon_{0}}\end{eqnarray*}$

であり、負極板による正極板から負極板に入る電気力線の本数は

$\begin{eqnarray*}N_{-}=\frac{Q}{2\varepsilon_{0}}\end{eqnarray*}$

になります。

よって、極板間の電気力線の総本数は

$\begin{eqnarray*}N&=&N_{+}+N_{-}\\\\&=&\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\end{eqnarray*}$

になり、これは一様に分布しているので、

$\begin{eqnarray*}& & E=\frac{N}{S}\\\\\Longleftrightarrow& & \frac{V}{d}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\\\\\Longleftrightarrow& & Q=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}V\end{eqnarray*}$

となります。

つまり、電気容量を

$\begin{eqnarray*}C=\varepsilon_{0}\frac{S}{d}\end{eqnarray*}$

とすることで、 $Q=CV$ が成り立ちます。

ここでわかるように、 $Q=CV$ はガウスの法則や電場と電位の定義から導かれているので、 $Q=CV$ では解けない問題は、ガウスの法則や電場と電位の定義式を考えるといいでしょう。

ポイント

平行板コンデンサーの電気容量 $C$ は、極板面積 $S$ に比例し、極板間 $d$ に反比例する。

$\begin{eqnarray*}C&=&\varepsilon_{0}\frac{S}{d}\\\\\varepsilon_{0}&=&\frac{1}{4\pi k_{0}}\end{eqnarray*}$

コンデンサーに関する例題

問題

真空中に極板面積 $0.25 \ m^2$ 、極板の間隔 $0.10 \ mm$ の平行板コンデンサーを置く。そのコンデンサーの電圧 $100 \ V$ を加える。ただし、真空中の誘電率は $\varepsilon_{0}=8.9\times10^{-12} \ F/m$ とする。

コンデンサーの電気容量はいくらか
負の極板に蓄えられている電気量はいくらか

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例題の解答と解説

指針

電気容量の式 $Q=\varepsilon\frac{S}{d}$ を用います。
コンデンサーに蓄えられる電気量 $Q$ を $Q=CV$ の公式を用います。このとき、正極板には $+Q$ 、負極板には $-Q$ の電気量が蓄えられます。

解答

計算問題です。
$\begin{eqnarray*}C&=&8.9\times10^{-12}\times\frac{0.25}{0.10\times10^{-3}}&=&2.2\times10^{-8} \ F\end{eqnarray*}$
これも計算問題です。
$\begin{eqnarray*}Q&=&2.2\times10^{-8}\times100\\\\&=&2.2\times10^{-6} \ C\end{eqnarray*}$