万有引力の法則ってなに?わかりやすく解説

本記事では万有引力の法則を物理アレルギーの高校生でも理解できるようにわかりやすく解説していきます。

17世紀にニュートンがリンゴが落ちる様子を見て、『地球とリンゴの間には引力が働いている』ことを発見したのは有名な話です。実はこの話は物理の知識がない一般人に説明するために作られた比喩らしいんです。そう聞くとちょっと残念ですね。

ですがこういった逸話が作られたのは、万有引力の法則を発見した彼の功績がそれだけ偉大なものだったからでしょう。

『万有引力の法則の発見によって物理学が発展した』と言っても過言ではないのですが、あなたはどんな法則か知っていますか?

受験でも超頻出の『万有引力の法則』。
本記事で一緒に本質的な部分から勉強して得点源にしちゃいましょう!

【合わせて読みたい記事】
ケプラーの法則わかりやすく解説してみた

 

物理力のつく問題:地球の質量はいくつ?

万有引力の法則を本質的に理解するために、一つ問題を出しましょう。問題はこちら!

問題

地球の半径はR=6.4\times{10^6}[m]であることがわかっているが、では地球の質量は何kgか答えよ

さてこの問題。「地球の質量を答えよ」ということですが、地球の質量なんてどうやって計れば良いんでしょうか。超巨大な体重計を作って計る?いやいやそんなことは不可能です。

地球の重さはどうやって計る?

ここでポイントとなるのが「地球の半径R」の値が与えられていること。実は地球の半径さえわかっていれば、万有引力の法則を応用することで地球の質量を求めることができるんです。

 

万有引力の法則とは

ではいよいよ万有引力の法則の詳しい解説に入りましょう。まずは公式から!

万有引力の法則

あらゆる物体の間に働く引力を万有引力と呼ぶ。質量が Mmの2つの物体がrだけ離れた位置にあるとき、2つの物体には以下の公式で表される万有引力が働く。

F=G\frac{Mm}{r^2}(G:万有引力定数)

Gを万有引力定数と呼びます。万有引力はありとあらゆる物体に働き、それぞれの質量の積に比例し、距離の2乗に反比例するということがこの式からわかりますね。

では、実際にこの万有引力の公式がどのように導出されたのかを解説しましょう。受験で超頻出なのでここから解説する内容はぜひマスターしてください。

 

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万有引力の法則の導出

惑星に働く引力を求める

万有引力の法則は、質量が大きな天体と天体の間に働く引力を考えるときに使います。今回は、太陽の周りを回る惑星の場合を考えましょう。

ケプラーの法則で解説したように『惑星は限りなく円に近い楕円起動を描き、その面積速度は一定である』ことがわかっています。惑星の運動が円運動で面積速度が一定の時、その速度も一定です(ここちょっとわかりにくいかもしれません。円から切り取った扇型の面積が同じ時、その弧の長さは同じになるためです。わかりにくければ実際に円を書いて確かめてみてください)。

つまり惑星の運動は等速円運動であるということになり、等速円運動で学んだ公式を使うことができます。

惑星は等速円運動をする

惑星に働く引力を F、質量を m、円運動の半径をr、角速度を \omega、周期を Tとします。惑星が円運動をしているのでこの引力Fが向心力になるということです。よって惑星の運動方程式を立てると

F=mr{\omega}^2

これに \omega=\frac{2\pi}{T}を代入すると、

F=mr({\frac{2\pi}{T}}^2)=\frac{4{\pi}^2{mr}}{T^2}……①

ここで、ケプラーの第3法則より

{T^2}=k{r^3} (kは定数)……②

今回は楕円を円とみなしているので長半径=半径となります。①に②を代入してみると以下の式が求まります。

F=\frac{4{\pi}^2{m}}{kr^2}=(\frac{4{\pi}^2}{k})\frac{m}{r^2}=K\frac{m}{r^2}……③

ここで \frac{4{\pi}^2}{k}の部分は定数ですから、比例定数Kで置き換えて考えます。

この式は『惑星にはたらく引力の大きさは、惑星の質量に比例し、太陽からの距離の2乗に反比例する』ことを表しています。

 

太陽に働く引力を求める

上で求めた式は惑星に働く引力を表していますが、作用反作用の法則を考えると太陽にも同じ法則の引力が働いていないといけません。つまり太陽の質量をMとすると④式が成り立つことになります。

F=K\frac{M}{r^2}……④

③式④式はそれぞれ惑星と太陽に働く引力を独立して考えたものですが、どちらも『質量に比例し距離の2乗に反比例する』という法則は同じです。どうせ同じ法則なら一つの式として表せた方が便利なので、比例定数を Gとして引力の式を一つにまとめます。

F=G\frac{Mm}{r^2}

質量の積で表すことで「太陽の質量に比例」かつ「惑星の質量に比例」を一つの式で表すことができます。
これが万有引力の公式で、比例定数Gが万有引力定数です。

万有引力定数

ちなみにこの万有引力定数ですが、昔のエライ学者さんの努力のおかげで大きさがわかっています。そのエライ学者さんとは18世紀のイギリスの物理学者キャベンディッシュ。キャベンディッシュは、金属と強酸の反応によって水素が発生することや、水が水素と酸素の化合物であることを発見した実はスゴイ学者さんです。

キャベンディッシュは、ねじり天秤と呼ばれる道具を使って地球の比重を求め、その割合から万有引力定数を以下のように導き出しました。

G=6.67\times{10}^{-11}[Nm^2/kg^2]

この数値からも分かるように、万有引力定数はものすごーく小さな値です。本来万有引力は私たちの身近なあらゆる物体同士で働いているのですが、万有引力定数が小さすぎるため働く引力もものすごく小さくなってしまいます。普段の生活で引力を感じないのはそのためですね。

 

問題の答え

万有引力=地球の〇〇

さて、ここで冒頭の問題の回答に移りましょう。地球の半径から質量を求める方法ですが、万有引力の法則を活用することで算出できます。

一つ前の項で『物体と物体には常に引力が働いているが普段感じることはない』と説明しました。ではどのような時に万有引力を考えるかというと、質量がものすごく大きな物体を扱うときで、その代表が天体です。

我々の住む地球も膨大な質量を持っていますから、地球上のあらゆる物体は強い万有引力を受けています。実はその万有引力こそが重力の正体。地表近くの質量mの物体に働く重力mgが万有引力に等しくなるということです。

よって、地球の半径をRとしたとき、以下の式が成り立ちます。

mg=G\frac{Mm}{R^2}

この式をMについて整えると以下の通り。

M=\frac{gR^2}{G}

あとは万有引力定数G=6.67\times{10}^{-11}[Nm^2/kg^2]、重力加速度g=9.8[m/s^2]、地球の半径R=6.4\times{10^6}[m]を代入して計算してあげると地球の質量が求まります。

正解はおよそ6.0{\times}10^{24}[kg]です。

途方も無い数字ですが、物理学の知識を活用すれば実際に計ることのできない地球の質量を求めることもできるんですね。

 

まとめ

まとめ
  • 万有引力の法則: F=G\frac{Mm}{r^2}(G:万有引力定数)
  • 地表付近の万有引力=重力

今回は覚えるや計算など盛りだくさんでしたね。おつかれ様でした。

万有引力の法則の導出過程については、ぜひ自身で説明できるように本記事を参考にマスターしてくださいね。

では、最後まで読んでいただきありがとうございました。


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