電磁気学2020.02.02 2020.10.09 タロン

抵抗率とは？わかりやすく解説

今回は抵抗率について解説します。

抵抗率は、頻出というわけではないのですが、抵抗率の導出過程や温度変化など知っておけば得する場面が多々あります。

結構難しい内容ですが、電気分野の基本的な内容を総復習できるので、最後までしっかりと読んで、分からないことは、必ず解決するようにしましょう。

目次

1 抵抗率とは
- 1.1 抵抗の公式
- 1.2 抵抗率と温度の関係
2 抵抗率の導出をする
3 抵抗率を使った問題
4 問題の解答
5 まとめ

抵抗率とは

抵抗の公式

抵抗の抵抗値 $R$ は、長さに比例し断面積に反比例する。

つまり、抵抗は長ければ長いほど電気を通しにくくなり、断面積が大きければ大きいほど電気を通しやすくなる、という事です。

そして、 $l/S$ の比例定数を $\rho$ とすると、抵抗値は次の式で決まります。

$\begin{eqnarray*}R=\rho\frac{l}{S}\end{eqnarray*}$

この比例定数 $\rho$ を抵抗率 $[\Omega\cdot m]$ と言います。

この抵抗率は抵抗を作っている材料の材質だけで決まります。

抵抗率と温度の関係

抵抗率は温度によって変化します。

温度が高くなると抵抗率は大きくなります。

これは、温度が高くなると抵抗の材料の陽イオンの振動が激しくなり、自由電子が流れにくくなるためです。

温度と抵抗率の関係は次のように表されます。

$\begin{eqnarray*}\rho=\rho_{0}(1+\alpha t)\end{eqnarray*}$

ここで、1℃上がるごとの抵抗率の変化量を抵抗率の温度係数をいい、 $\alpha$ で表し、単位は $[/C^{o}]$ です。 $\rho_{0}$ は温度が０℃の時の抵抗率、 $t$ [℃]の時の抵抗率を $\rho$ で表しています。

だから本来は、オームの法則により電圧と電流は比例しますが、抵抗に電圧をかけることで、ジュール熱で温度があがり、抵抗率が大きくなるので、電流と電圧は比例関係でなくなります。

抵抗率の導出をする

それでは抵抗率を導出していきましょう。

図のように断面積 $S$ 、長さ $L$ の導体の両端に電圧 $V$ を加える状況を考えます。

この時に導体に働く電場は、

$\begin{eqnarraay*}E=\frac{V}{L}\end{eqnarray*}$

になります。導体内を移動する電荷 $-e$ の自由電子は、この電場により大きさ

$\begin{eqnarray*}F=eE\end{eqnarray*}\end{eqnarray*}$

を左向きに受けて加速されます。しかし、自由電子は熱振動する陽イオンとの衝突により右向きに力を受けて減速され最終的に一定の速度 $v$ になり、左向きに移動します。ここで、陽イオンとの衝突による抵抗力の大きさは $v$ に比例すると仮定し、その比例定数を $k$ とします。

力のつり合いから

$\begin{eqnarray*}& & 0=kv-e\frac{V}{L}\\\\\Longleftrightarrow& & v=\frac{eV}{kL}\end{eqnarray*}$

と速さが求まります。ここで、導体の自由電子の個数を1 $m^2$ あたり $n$ 個とすると、導体の断面を１秒で通過する電子の数 $N$ は、

$\begin{eqnarray*}N=nvS\end{eqnarray*}$

になります。

よって電流値は

$\begin{eqnarray*}I=eN=\frac{e^2 nS}{kL}V\end{eqnarray*}$

となり、抵抗値を求める。この時にオームの法則 $V=RI$ と比較して、

$\begin{eqnarray*}R&=&\frac{kL}{e^2nS}\\\\&=&\frac{k}{e^2 n}\frac{L}{S}\end{eqnarray*}$

となります。ここから抵抗値の公式から抵抗率 $\rho$ は、

$\begin{eqnarray*}\rho=\frac{k}{e^2 n}\end{eqnarray*}$

と求まります。

抵抗率を使った問題

問題

直径 $2mm$ の銅線 $1km$ の抵抗値を求めよ。ただし、導線の抵抗率を $\rho=7.12\times10^{-8}[\Omega\cdotm]$ とします。

問題の解答

計算問題です。

公式に代入して求めて下さい。

$\begin{eqnarray*}R&=&1.72\times 10^{-8}\times\frac{1\times 10^3}{1\times 1\times\pi}\\\\&=&5.47 \ \Omega\end{eqnarray*}$

ここからわかるように銅線にも少し抵抗があります。これは１kmで長いですが、1mでも抵抗はあるという事が分かるでしょう。つまり、実験をするときに銅線の抵抗を無視できるほど大きな抵抗をつけなければ、実験値がずれてしまうという事が起きます。

まとめ

まとめ

抵抗の公式

$\begin{eqnarray*}R=\rho\frac{l}{S}\end{eqnarray*}$

$\rho$ は抵抗率

今回のまとめは抵抗の公式だけですが、抵抗率の導出は必ずできるようにして下さい。

電磁気学についてさらに詳しく勉強したい方は、こちらのまとめ記事をぜひ参考に↓↓↓

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