単振動の基本公式をわかりやすく解説

本記事では単振動の基本公式について、それぞれの導出方法などの本質を初心者でもわかりやすいように解説していきます。単振動は覚えるべき項目が複数あるので苦手な人も多いかもしれませんね。それだけ差がつきやすき単元ですので、本記事で一緒にしっかりと学習していきましょう。

単振動とは

単振動とはどのような運動なのでしょうか?その定義はこちら。

単振動の定義
変位に比例する元の位置に戻ろうとする力が働く運動を単振動と呼ぶ。単振動する物体に働く力を復元力と呼び、以下の式で表すことができる。
復元力:F=-Kx(K:比例定数)

例えば図のようなバネ定数Kのバネにおもりを繋いだとしましょう。このバネの自然長の位置を原点として摩擦の無視できる床の上でバネを伸び縮みさせた時の運動を考えてみます。

この時、バネが原点から正の向きにaだけ伸びた場合、フックの法則によっておもりには-Kaの復元力が働き、物体は原点に戻ろうとします。

では今度は逆に、バネが原点から負の向きに-aだけ縮んだとしましょう。この時おもりにはKaの復元力が働き、また原点に戻ろうとします。

おもりには常に原点に戻ろうとする復元力がバネの伸び縮みと連動して周期的に働きます。このような運動を単振動と呼びます。
今回は地面に置いたおもりにバネを繋いだ場合の運動を例にあげましたが、バネで吊るしたおもりの運動や振り子の運動も単振動の一種です。

単振動の正体

単振動は原点に戻る動きを周期的に繰り返す運動です。周期的に同じ動きを繰り返す運動は他にもあるのですが、あなたはそれが何かわかりますか?その答えは……等速直円運動です。そして実は等速円運動と単振動はそれぞれ連動をしています。どういうことでしょうか。

単振動の正体

画像のように、等速円運動する物体を真横からライトで当てた時にその影の運動を見てみると、スクリーン上に映し出される影は往復運動を繰り返しますね。実は、この運動が単振動そのものなのです。

等速円運動と単振動は、見る視点が異なるだけで実は連動した同じ運動を表しています。そのため、等速円運動の公式を応用することで単振動の様々な特性や公式を導き出すことができるのです。一つずつ見てみましょう。

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単振動の変位・速度・加速度の公式

単振動は等速円運動と密接な関係にある運動です。等速円運動の公式を活用することで、単振動の変位・速度・加速度を導き出すことができます。

単振動の変位・速度・加速度
ある時間tでの単振動する物体の変位・速度・加速度は以下の公式で表すことができる。

変位:y=Asin\omega{t}

速度:v=A\omega{cos\omega{t}}

加速度:a=-A\omega{^2}{sin\omega{t}}=-\omega{^2}x

A:単振動の幅の最大、\omega:角振動数)

新しく出てきた角振動数ωですが、これは等速円運動で学んだ単位時間あたりの角度の変化量を表す角速度と同じものです。
ではそれぞれの公式がどのように成り立っているのか?その導出の過程を詳しく解説していきます。

ちなみに単振動の公式を導出する時には等速円運動の公式も利用しますので、こちらの記事であらかじめ学習してからこの先を読むことをオススメします。

変位の公式

まずは変位の公式から。

すでにお話した通り、等速円運動する物体を真横からライトで照らした影の運動が単振動の運動に一致します。この特性を利用して単振動の変位の公式を求めてみましょう。

ある等速円運動する物体の角速度を\omega、円運動の半径をAとします。

単振動の変位

この時ある時間tの単振動する物体の変位は、画像のように三角形部分の高さに等しくなります。中心角の大きさは\omega{t}ですので、単振動の変位はAsin\omega{t}をかけたものに等しくなります。

y=Asin\omega{t}

これで、単振動の変位yの公式が求まりました。

速度の公式

では次は速度の公式です。これも変位と同様に等速円運動との比較で公式を求めることができます。

単振動の速度

等速円運動する物体の速度は半径に対して垂直の向きに働きます。つまり画像のように、物体を真横から投影した影である単振動の速度は、円運動の速度を鉛直方向に分解したものと等しくなりますね。

等速円運動の公式から速度は\omega{A}と求まりますから、単振動の速度は\omega{A}cos\omega{t}をかけたものに等しくなります。

v=A\omega{cos\omega{t}}

これで単振動の速度の導出は完了です。

加速度の公式

最後に加速度です。

単振動の加速度

等速円運動する物体の加速度は円の中心に向かう向きに働きます。つまり物体を真横から投影した影である単振動の加速度は、速度の時と同様に鉛直方向に分解したものと等しくなります。

等速円運動の公式から加速度は\omega{^2}{A}と求まりますから、単振動の加速度は\omega{^2}{A}sin\omega{t}をかけたものに等しくなります。

a=-A\omega{^2}{sin\omega{t}}=-\omega{^2}x

一点注意として、単振動には復元力が働きその向きは常に変位に対してマイナスです。運動方程式を考えると復元力と加速度の向きは一致しますから、加速度も変位の向きに対して常にマイナスの向きに働きます。これで加速度の公式も求まりました。

単振動の角振動数と周期の公式

最後に単振動の角速度と周期の公式についても勉強しておきましょう。

単振動の角振動数と周期
角振動数:{\omega}=\sqrt{\frac{K}{m}}

周期:T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{K}}}

m:質量、K:復元力の比例定数、x:変位)

角振動数の導出

角振動数の公式は単振動する物体の運動方程式から求めることができます。

-Kx=m(-{\omega}^2x){\omega}=\sqrt{\frac{K}{m}}

周期の導出

周期の導出ですが、周期は角度が2\piになるまでにかかる時間に等しいので2\pi=\omega{T}の式が成り立ちます。あとはこの式に上で求めた角振動数の公式を代入して変形すれば周期の公式が求まりますね。

T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{K}}}

まとめ

まとめ1
  • 変位に比例する元の位置に戻ろうとする力が働く運動を単振動と呼ぶ。
  • 単振動する物体に働く力を復元力と呼び、以下の式で表すことができる。
    復元力:F=-Kx(K:比例定数)
まとめ2:単振動の公式

変位:y=Asin\omega{t}

速度:v=A\omega{cos\omega{t}}

加速度:a=-A\omega{^2}{sin\omega{t}}=-\omega{^2}x

角振動数:{\omega}=\sqrt{\frac{K}{m}}

周期:T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{K}}}

単振動は力学だけでなく、電磁気学の分野でも出題されることがある頻出の分野です。
ぜひ本記事を参考に、導出の過程をマスターしてくださいね。


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