単振り子ってなに?わかりやすく解説

本記事では単振り子について、頻出である公式の導出の手順を初心者でもわかりやすく解説していきます。

単振り子とは?

単振り子とは、長い糸でおもりを吊るした振り子を作り、その振り子の振れ幅をものすごく小さくしたときに観測できる現象で、単振動の一種です。

画像のように通常振り子を揺らすとそのおもりは弧を描くように振れますが、この振れ幅を極々小さいものにしたとき、おもりは単振動をしているとみなせるようになります。

振れを小さくすると水平方向の単振動になる

単振動では必ず、F=-KxK:比例定数、x:原点からの距離)で表される復元力と呼ばれる力が働きます(単振動について自信がない人はこちらの記事をチェック)。

復元力とは運動する物体が原点に戻ろうと働く力ですが、単振り子も単振動の一種である以上、必ず復元力が働いているはずです。単振り子の復元力は高校物理でもかなりの頻出問題なので、本記事ではそれの導出の過程と、加えて周期の求め方についてもお話をしておこうと思います。

 

単振り子の復元力と周期

ではまず公式から。

単振り子の復元力と周期

復元力:-{\frac{mg}{l}}x

周期:2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

この式は覚えてしまっても良いですが、それ以上にこの式の導出の手順が問題としてよく出題されます。
原理原則をきちんと理解できていれば、受験においての強い武器になりますのでぜひ一緒に勉強していきましょう。

単振り子の復元力

画像1

では復元力の公式の導出から解説していきましょう。まずは条件設定から。

画像1のように、質量mのおもりを長さがlの糸に結び、鉛直方向から角度\thetaのごく小さい幅だけ振るとします。重力加速度はgです。このとき振り子の原点(最下点)Oからの距離をxとします。

振り子につないだおもりが振れるということは、何かしらの円弧に沿った力が働いているということです。このときの力はおもりに働く重力mgを円弧方向に分解したmgsin\thetaということになります。
(糸からの張力と重力の糸方向に分解した力も存在していますが、これらの力は振り子の運動に対して仕事をしていませんので今回は無視してOKです。)

画像2:円弧は水平であるとみなせる

この時、角度\thetaを極々小さい角度だけ揺らしているとしましょう。すると振り子の円弧は画像2のように水平であると近似ができるようになります。

水平方向の右向きを正とした時、xが正(原点よりも右)の時、mgsin\thetaは負の向きに働き、xが負(原点よりも右)の時、mgsin\thetaは正の向きに働きます。つまり振り子に働く水平方向の力Fは以下のように表すことができます。

F=-mgsin\theta……①

これが復元力となるのですが、単振動の復元力は-Kxの形で表さないといけません。あとは①式を原点からの距離xで表すことができると完璧ですので一工夫しましょう。

画像3:直角三角形とみなせる

この時、\thetaを極く小さい角度だとすると、画像3のように糸と鉛直方向の軸で囲まれた部分は、斜辺の長さがl底辺の長さがxとみなすことができるようになります。

よって、sin{\theta}=\frac{x}{l}が成り立つので、あとは①式に代入すればOKです。

F=-\frac{mg}{l}x

上記の式は\frac{mg}{l}の部分を定数としてみなすことができますから、これで単振り子の復元力を距離xを使って表すことができました。

 

単振り子の周期

では次に周期を求めてみましょう。

単振り子の角振動数を\omegaとしたとき、単振動の運動方程式はF==m(-{\omega}^2x)で表すことができるのはこちらの記事でも解説しました。
あとはこの式と上記で求めた復元力の公式を組み合わせることで、角振動数を求めることができます。

-{\frac{mg}{l}}x=m(-{\omega}^2x) → {\omega}=\sqrt{\frac{g}{l}}

あとは角振動数の定義から周期を求めるだけです。
周期は角振動数が2\pi進むだけの間にかかる時間ですから

2\pi=\omega{T} → 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

これで周期の公式も求まりましたね。

 

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本記事を動画でわかりやすく解説

本記事についてはこちらの動画でも解説していますので、ぜひご覧ください。

 

まとめ

まとめ
  • 長い糸でおもりを吊るした振り子を作り、その振り子の振れ幅をものすごく小さくしたときその運動は単振動としてみなすことができる。この運動を単振り子と呼ぶ。
  • 復元力と周期の公式は以下のように表せる。

復元力:-{\frac{mg}{l}}x

周期:2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

ぜひ、本記事で解説した公式の求め方は自分でもできるように練習してみてください。

ではここまで読んでいただきありがとうございました。


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