弧度法と度数法の違いをわかりやすく解説

高校物理では、角度を表わすために新しく弧度法と呼ばれる方法を使います。

今まで円を一周する角度を360°としてきたので、慣れないうちは使いにくいかもしれません。

弧度法も本質を理解するとカンタンに解けるようになりますので、本記事でわかりやすく解説していきます。

 

度数法と弧度法

中学までの数学では、これまで図形の角度を表すのに30°や45°、つまり「°(度)」を使ってきました。この表し方を度数法と呼びます。度数法では円の一周を表す角度を360°としています。

一方で、高校物理では角度の表し方として、新しく弧度法と呼ばれる方法を使います。弧度法の場合は度数法と違い、円の一周を表す角度を2\piとしています。

度数法と弧度法
  • 度数法→円の一周を表す角度が360°
  • 弧度法→円の一周を表す角度が2\pi

 

弧度法の基本

では、弧度法の基本的な扱い方の解説に入りましょう。暗記するのではなく、きちんと本質を理解しながら使いこなせるようになってください。

 

なんで弧度法が必要?

そもそもなぜ、弧度法のような角度の表し方が必要になったのでしょうか?

「別に360°で表してもいいんじゃない?」と思うかもしれませんが、実は度数法は図形の角度を表すのには便利なんですが、運動の様子を表すのには不便なんです。

どういうことでしょうか?

図形の度数法を使って表すとき、それはどれだけ大きくても360°を超えることはありません。ですが例えば円運動などの状態を表そうとすると角度がものすごく大きくなってしまいます。

例えば物体が2周円運動をした時の状態を表す場合、360°×2=720°、といった形で表すことになります。
2周くらいならまだ計算もカンタンでしょうが、これが10周、100周、1000周した時の運動の状態を表さなければならない時、値が膨大な数になってしまうため計算するには不向きです。

この問題を解消しようと、昔の偉い学者さんたちが集まって決めたのが弧度法の考え方です。弧度法の場合、円の一周の角度は2\piとして表されますから、一周を360°とする度数法よりも計算がカンタンになるわけです。

ここがポイント
度数法は図形の角度を表すのには便利だが、運動の状態を表すのには不向き。
弧度法であれば一周の角度=2\piなので運動の様子を表しやすい。

 

新しい単位ラジアン

弧度法を使う時、角度の単位はrad(ラジアン)を使います。半径rのおうぎ形の弧の長さがrの時の中心角を1[rad](ラジアン)と定義します。つまり図のように、半径の長さと弧の長さが同じになる時の角度が1[rad]ということです。

ラジアンを導入することで、下の図のように、おうぎ型の弧の長さは中心角\thetaの大きさに比例するようになります。s=r\thetaが成り立つわけです。

では円を一周した時の場合を考えてみましょう。半径rの円の円周は2\pi{r}になります。ここで、上の式と照らし合わせてみると、\theta=2\piとなり、度数法で表した360°は弧度法で表した2\piに等しくなるということが証明できます。

 

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度数法→弧度法のカンタンな演習

弧度法の計算は九九を覚えるのと同じくらい基本的なことです。最初はとっつきにくいかもしれませんが、慣れてしまうと一瞬で解けるようになります。
カンタンな演習問題を用意しましたので、度数法→弧度法の変換が自然とできるようになるまで何度も繰り返し練習しましょう。

演習問題の解答はこちらからダウンロードできます

 

本記事を動画でわかりやすく解説

今回の記事の内容についてはこちらの動画でも解説していますのでぜひご覧ください。

 

まとめ

まとめ
  • 半径rのおうぎ形の弧の長さがrの時の中心角を1[rad](ラジアン)と定義する
  • 弧度法は一周の角度=2\piとして表す
  • おうぎ型の弧の長さは中心角\thetaの大きさに比例するようになりs=r\thetaが成り立つ

以上が弧度法の解説です。
慣れるまで何度も演習を繰り返してくださいね。


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