熱力学2020.09.07 2020.10.12 shiderow

気体分子運動論ってなに？わかりやすく解説

この記事では「気体分子運動論」について、式の成り立ちからわかりやすく解説をしていきます。

気体分子運動論は、熱力学の中でも特に学んで面白い単元です。本記事の筆者は、気体分子運動論を学んだことがきっかけになって物理が得意になりました。熱力学と力学の知識の中間である気体分子運動論を学ぶと、熱力学についての理解がグッと深まると思います。

これから物理を学ぶ高校生
物理を得点源にしたい受験生

に向けて、できるだけ噛み砕いて解説しますので、最後までしっかり読んで理解しましょう！

目次

1 気体分子運動論とは？
2 気体分子運動論を導いてみよう
3 まとめ

気体分子運動論とは？

通常の温度・圧力の状態では、気体の性質は状態方程式によく従います。そしてこれは酸素や水素、ヘリウムなど、気体の種類に関係なくどれも同じような振る舞いをすることがわかっています。

分子の大きさや質量は物質によって変わるにも関わらず、物質が気体になると全体の振る舞いに差がなくなります。なぜでしょうか？

そんな疑問を解消するために、昔の偉い学者が気体の分子１つ１つの運動を力学的な視点で考えて、分子の運動によって気体の圧力や温度を考えようと試みました。この考え方を気体分子運動論といいます。

気体分子運動論を導いてみよう

では、実際に気体分子運動論とはどんなものか？その流れを計算してみましょう。

前提条件

まず、気体分子運動論を考えるに当たって、前提条件を２つ決めておきます。

条件１：気体の大きさと形は無視する
条件２：気体分子どうし、また気体分子と容器の壁の衝突は弾性衝突になる

身の回りの空気を袋詰めすると、パンパンに膨らみます。これを見ると空気には酸素・窒素のような気体分子がぎっしりと詰まっているイメージをするかもしれませんが、実際にはそこまで気体分子の密度は大きくありません。

例えば空気中の酸素分子をサッカーボール大に拡大してみても、ワンルームの１部屋に１個あるくらいの密度しか入っていないのです。

このように気体分子が空間に占める大きさと形の割合はものすごく小さいです。部屋にあるボールがサッカーボールでもバスケットボールでも大した差がないのと同じで、気体分子の大きさと形もほとんど無視することができます。

また簡単のため、気体分子の衝突は全て弾性衝突、つまり同じ速さで跳ね返るものとして考えます。

気体の圧力を分子運動から計算してみる

ではいよいよ気体分子運動論の本題に入ります。気体の圧力を気体の分子運動から計算してみましょう。

一辺の長さ $L$ 、体積 $V(=L^3)$ の立方体の箱の中に、質量 $m$ の分子が $N$ 個集まってできた気体を封じておきます。この時、気体が箱の壁に衝突することで壁が受ける圧力を求めてみましょう。

以下の画像のように、速度 $v$ の分子が壁に衝突すると、衝突後は衝突前と反対向きに運動をします。

衝突前後の気体分子の運動量はそれぞれ $mv$ と $-mv$ になるので、分子が受ける力積は

分子が受ける力積 $=(-mv)-(-mv)=-2mv$

となります。作用反作用の法則を考えると、壁も同じ大きさで向きが反対の $2mv$ の力積を受けることになります。

この時、向かい合う壁を往復した距離が2Lになるので、1つの分子が1秒間に $\frac{v}{2L}$ 回、同じ壁に衝突し、 $\delta{t}$ 秒なら $\frac{v\delta{t}}{2L}$ 回衝突します。

よって1つの分子が壁に与える力積の総量 $F\delta{t}$ は、 $2mv$ に衝突の回数をかけたものになるので

$F\delta{t}=2mv\times\frac{v\delta{t}}{2L}$

となり、この式を変形すると

$F=\frac{mv^2}{L}$ ・・・①

が成り立ちます。これは1つの分子が壁に及ぼす力の平均です。

分子は $N$ 個あるので、 $x$ 、 $y$ 、 $z$ の３方向に３分の１ずつ運動して、それぞれの壁に均等に衝突するものとして考えることができます。

よって①式を $\frac{N}{3}$ 倍し、壁の面積 $L^2$ で割って圧力 $p$ を求めると

$p=\frac{Nmv^2}{3L^3}=\frac{Nmv^2}{3V}$ ・・・②

②式が成り立ちます。

気体分子運動論からわかること

②式からは、気体の圧力について以下の３点がわかります。

（１）気体分子の数 $N$ に比例する
（２）分子の運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ に比例する
（３）体積 $V$ に反比例する

（１）についてはイメージしやすいと思います。タイヤに空気を多く詰め込むとタイヤ内の気体分子の数が増え、圧力が増えるということです。

（３）についても、気体を封じる容器の体積が大きいほど気体の密度が小さくなるため、圧力が小さくなります。というかボイルの法則そのままです。

（２）の「分子の運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ に比例する」についてはイメージしにくいので、もうすこし一般化しましょう。

②式を気体の状態方程式に代入して、 $\frac{1}{2}mv^2$ について揃えてみましょう。この時アボガドロ定数を $N_0$ とすると $N=nN_0$ になることに注意します。

すると

$\frac{1}{2}mv^2=\frac{3R}{2N_0}T=\frac{3}{2}kT$ ・・・③

③式が成り立ちます。この時 $k=\frac{R}{N_0}$ をボルツマン定数と呼びます。

③式からわかるのは、気体分子の運動エネルギーは気体の絶対温度に比例する、ということです。つまり気体の温度が上がるほど、気体の圧力は上がるということです。

つまり、気体分子運動論から気体の圧力について以下の３つがわかる、ということです。

気体分子運動論からわかること

（１）気体分子の数 $N$ に比例する
（２）気体の絶対温度 $T$ に比例する
（３）体積 $V$ に反比例する

まとめ

気体分子運動論について、その成り立ちや背景について理解できましたか？

ただ関係式を覚えるだけではなく、なぜその式が成り立つのか？その背景まできちんと理解して公式を使いこなしましょう！

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