電磁気学2020.02.07 2020.10.09 タロン

キルヒホッフの法則とは？わかりやすく解説

キルヒホッフの法則は電気分野でかなり本質的な法則です。

その法則を理解してないのは、電気回路の問題をほぼ落とすと言っても過言ではありません。

今回は、キルヒホッフの法則の解説とそれを用いた回路の問題の解き方を説明していきます。

非常に大切な単元なので、必ず理解できるまで繰り返し読んで下さい。

目次

1 キルヒホッフの法則とは
- 1.1 キルヒホッフの第一法則
- 1.2 キルヒホッフの第二法則
2 電気回路の問題の考え方
3 キルヒホッフの法則を使った問題
4 問題の解答
5 まとめ

キルヒホッフの法則とは

キルヒホッフの法則は、第一法則と第二法則があります。

それぞれ解説していきます。

キルヒホッフの第一法則

キルヒホッフの第一法則

回路の任意の分岐点において、

（流入する電流の和）＝（流出する電流の和）

が成り立つ。

これは、図を見たほうが理解しやすいです。

図の●を分岐点として、図の向きに電流が流れているとします。

この場合、電流値 $I_{1}$ が流れ込んで、電流値 $I_{2}$ と $I_{3}$ に分かれます。

つまり、 $I_{1}=I_{2}+I_{3}$ が成り立ちます。

電流は回路の途中で増減しないので、これは当たり前と言えば当たり前です。

これは流れ込む電流、分かれた電流が何個になっても成り立ちます。

例えば、 $I_{1}$ 、 $I_{2}$ 、 $I_{3}$ が流れ込んで、 $I_{4}$ 、 $I_{5}$ 、 $I_{6}$ に分かれたとしたら、 $I_{1}+I_{2}+I_{3}=I_{4}+I_{5}+I_{6}$ が成り立ちます。

さらに、上記の例は電流の向きが分かっていましたが、次は電流の向きが分からない場合を考えてみましょう。（これは少しレベルの高い問題になると使うので、理解できるようにして下さい。）

図のように、向きの分からない電流が、電流値 $I_{1}$ 、 $I_{2}$ 、 $I_{3}$ で流れているとします。

この時にするべきことは、

電流の正の向きを決める
電流保存の式を立てる

です。

まずは正の向きを決めましょう。分岐点に流れ込む電流値を正とします。

そして、電流の保存式を立てます。

$\begin{eqnarray*}I_{1}+I_{2}+I_{3}=0\end{eqnarray*}$

ここで、正の向きの電流値は正の値になり、負の向きの電流値は負の値になります。

例えば、 $I_{1}>0$ 、 $I_{2}<0$ 、 $I_{3}<0$ の時は、次の図のような向きに電流が流れるという事になります。

ただ、すべての電流が正の向きになったり、負の向きになることはあり得ないので、要注意です。

キルヒホッフの第二法則

キルヒホッフの第二法則

電気回路の任意の1周り閉じた経路について、電圧降下の和は0になる。

電圧降下とは、抵抗やコンデンサーによって下がった電圧のことです。

これはなぜ成り立つかと言いますと、導体内では電位が等しいからです。

だから、回路の導線では電圧降下は起きずに抵抗やコンデンサーで電圧降下が起きます。

以下の図の回路を考えてみましょう。

式の立て方ですが、0=（電圧降下の和）としましょう。

図の矢印の向きを正の向きとすると、電源で0から $V$ に電圧が上がり、抵抗1で $V$ から $V_{1}$ 電圧降下して $V-V_{1}$ になり、抵抗2で $V-V_{1}$ から $V_{2}$ 電圧降下して $V-V_{1}-V_{2}(=0)$ になります。

つまり、 $0=V-V_{1}-V_{2}$ が成り立ちます。

さらに、抵抗1に流れる電流を $I_{1}$ 、 $I_{2}$ とすると、

$\begin{eqnarray*}0=V-R_{1}I_{1}-R_{2}I_{2}\end{eqnarray*}$

になります。

電気回路の問題の考え方

未知数を設定する
電流保存の法則（キルヒホッフの第一法則）
（コンデンサーの問題で）電気量保存の法則（孤立した島では電気量が保存する）
閉回路の電圧降下の合計はゼロ（キルヒホッフの第二法則）

図の回路を考えましょう。

そして、それぞれの抵抗に流れる電流値を求めましょう。

1．未知数を設定する。

それぞれの抵抗に流れる電流値を設定します。

それぞれの電流値を $I_{1}$ 、 $I_{2}$ 、 $I_{3}$ とします。

2．電流保存の法則

$\begin{eqnarray*}I_{1}=I_{2}+I_{3}\end{eqnarray*}$

3．電気量の保存

今回は使いません。

4．閉回路1周で電圧降下はゼロ

$\begin{eqnarray*}& &0=V-R_{1}I_{1}-R_{2}I_{2}\\\\& &0=V-R_{1}I_{1}-R_{3}I_{3_}\end{eqnarray*}$

以上から電流値を求めていきます。

$\begin{eqnarray*}& &I_{1}=\frac{R_{2}+R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}V\\\\& &I_{2}=\frac{R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}V\\\\& &I_{3}=\frac{R_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}V\end{eqnarray*}$

この手順さえ守れば回路の問題はほぼ解けるようになります。

キルヒホッフの法則を使った問題

問題

図のように帯電していないコンデンサーを電源につなげて、十分帯電させた。この時にコンデンサーに帯電している電荷を求めよ。

問題の解答

1．未知数を設定する。

各コンデンサーに帯電された電荷を $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 設定します。

2．電流の保存

今回は使いません

3．電気量の保存則

図の赤い枠線は孤立しています。電源をつなぐ前の電荷の総量はゼロなので、帯電後も総電荷はゼロになります。

$\begin{eqnarray*}0=-Q_{1}+Q_{2}\end{eqnarray*}$

4．閉回路1周で電圧降下の和がゼロ

$\begin{eqnarray*}0=V-\frac{Q_{1}}{C_{1}}-\frac{Q_{2}}{C_{2}}\end{eqnarray*}$

以上から、電荷が求まります。

$\begin{eqnarray*}Q_{1}=Q_{2}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}V\end{eqnarray*}$

まとめ

まとめ

キルヒホッフの第一法則
回路の任意の分岐点において、（流入する電流の和）＝（流出する電流の和）が成り立つ。

キルヒホッフの第二法則
電気回路の任意の1周り閉じた経路について、電圧降下の和は0になる。

電気回路の考え方

未知数を設定する
電流保存の法則（キルヒホッフの第一法則）
（コンデンサーの問題で）電気量保存の法則（孤立した島では電気量が保存する）
閉回路の電圧降下の合計はゼロ（キルヒホッフの第二法則）

理解が難しい方は何度も読んで下さい。

本当に重要な単元です。

電磁気学についてさらに詳しく勉強したい方は、こちらのまとめ記事をぜひ参考に↓↓↓

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電磁気学の要点まとめ【物理の偏差値を上げる方法】

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