ばね振り子ってなに？わかりやすく解説

力学の中でもニガテな人の多い単振動。今回はその中でもばね振り子についてです。

本記事ではばね振り子の運動方程式から角振動数と周期を求める基本の解法パターンについてわかりやすく解説します。
今回の解説はばね振り子系の問題を解くための全ての基本になりますから、苦手な人や得意にしたい人はぜひ参考にしてください。

1 水平ばね振り子と鉛直ばね振り子
2 水平ばね振り子
3 鉛直ばね振り子
4 水平ばね振り子と鉛直ばね振り子の解法の違いは？
5 まとめ

水平ばね振り子と鉛直ばね振り子

ばねの一端を固定し、その反対におもりを取り付けたものをばね振り子と呼びます。

ばね振り子には地面においたおもりにばねを水平に繋いだ水平ばね振り子と、おもりを鉛直に繋いでぶら下げた鉛直ばね振り子の２種類があります。

物体が単振動をしているかどうかの判断には、その物体に「一つの特徴」があるかどうかを調べればよいのですが、あなたはその特徴を知っていますか？

その特徴とは復元力が働くということ。こちらの記事でも詳しく解説をしていますが、単振動をする物体には必ず $-Kx$ で表すことができる復元力と呼ばれる力が働きます。

復元力は物体をもといた原点に戻そうとする力のことで、ばね振り子が単振動をしているのであれば必ずばね振り子に繋がれたおもりにも $-Kx$ で表せる復元力が働いているはずです。水平ばね振り子と鉛直ばね振り子のそれぞれでチェックをしてみましょう。

水平ばね振り子

ではまず水平ばね振り子について解説します。

質量の無視できるばね係数 $k$ のばねがあります。ばねの一端は壁に固定されており、もう一端に質量 $m$ のおもりをつなぎ、摩擦の無視できる地面に置きます。空気抵抗も無視できると考えた時、おもりを引っ張ってから放した場合の運動について考えます。

水平ばね振り子の復元力

地面からの摩擦が無視できるので、おもりに働く力はばねの弾性力のみです。

ばねの自然長の時のおもりの位置を原点とした時、ばねが縮むとおもりが伸びる向きに弾性力が働き、ばねが伸びるとおもりが縮もうとする向きに弾性力が働きます。つまり、常におもりが原点に戻るような向きに弾性力が働いているため、「弾性力＝復原力」となります。

ばねの伸び（縮み）を $x$ とした時、おもりには $F=-kx$ で表せる復元力が働いているため、水平ばね振り子の運動は単振動であると言えます。

水平ばね振り子の角振動数 $\omega$ と周期 $T$

水平ばね振り子の角振動数 $\omega$ と周期 $T$ を求めるために、おもりの水平方向の運動方程式を立ててみましょう。おもりは単振動をしているため加速度は $\omega{^2}{x}$ となるので、

$m(-\omega{^2}{x})=-kx$ → $m\omega{^2}=k$

上記の式が成り立ちます。

この式を $\omega$ について整えてあげれば、角振動数 $\omega$ が以下のように求まります。

水平ばね振り子の角振動数

角振動数： ${\omega}=\sqrt{\frac{k}{m}}$

あとは周期ですが、周期は角振動数が $\2pi$ になるまでにかかる時間に等しいため、 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ に ${\omega}=\sqrt{\frac{k}{m}}$ を代入すればOKです。

水平ばね振り子の周期

周期： $T={2\pi}\sqrt{\frac{m}{k}}$

以上で水平ばね振り子の角振動数と周期が求まりました。
これらの公式は基本なので覚えてしまったほうが早いですが、なぜこの公式が導き出されるのかという過程はきちんと説明できるように練習しておきましょう。

水平ばね振り子：基本の解法３ステップ

水平ばね振り子についてまとめると、水平ばね振り子についての問題は基本的に以下の３ステップで全て解くことができます。

水平ばね振り子基本の解法３ステップ

ステップ１：ばねの自然長を原点にとる

ステップ２：運動方程式を立て角振動数を求める

ステップ３：角振動数から周期を求める

鉛直ばね振り子

では続いて鉛直ばね振り子の場合を考えてみましょう。
水平ばね振り子の場合と同じ条件のばねとおもりを、今度は一端を天井に繋いでぶら下げて伸ばしてから放した場合を考えます。

鉛直ばね振り子の復元力

今回は鉛直方向についての運動を考えるため、水平ばね振り子の場合と違ってをばねの弾性力以外に重力も働いていることも考慮しないといけません。この時「重力と弾性力が釣り合った地点を原点として考える」のが解法のポイントです。

重力加速度を $g$ とします。ばねの弾性力と重力が釣り合って静止した時のばねの伸びを $x_o$ としましょう。この時

$mg=kx_o$ ……①

が成り立ちます。

釣り合いの位置からばねを静かに伸ばし（縮め）てから静かに放したときを考えましょう。釣り合いの位置を原点として、原点からのおもりの変位を $x$ とした時、鉛直下向きを正として運動方程式を立ててみます。加速度を $a$ とした時以下の②式が成り立ちます。

$ma=mg-k(x_o+x)$ ……②

この②式に①式を代入してみましょう。すると、

$ma=k{x_o}-k(x_o+x)=-kx$

となり、鉛直ばね振り子の場合も復元力が働いているため、この運動は単振動となることがわかりました。

鉛直ばね振り子の角振動数 $\omega$ と周期 $T$

鉛直ばね振り子で働く復元力も水平ばね振り子で働く復元力と全く同じであるため、角振動数と周期の公式も同じものになりますね。

鉛直ばね振り子の角振動数と周期

角振動数： ${\omega}=\sqrt{\frac{k}{m}}$

周期： $T={2\pi}\sqrt{\frac{m}{k}}$

鉛直ばね振り子：基本の解法３ステップ

鉛直ばね振り子についてまとめると、水平ばね振り子についての問題は基本的に以下の３ステップで全て解くことができます。

鉛直ばね振り子基本の解法

ステップ１：ばねのおもりが釣り合う位置を原点にとる

ステップ２：運動方程式を立て角振動数を求める

ステップ３：角振動数から周期を求める

水平ばね振り子と鉛直ばね振り子の解法の違いは？

水平ばね振り子と鉛直ばね振り子の問題でポイントになるのが「原点の位置をどこに置くか」です。

基本的に水平ばね振り子はばねの自然長の位置、鉛直ばね振り子の場合はおもりの重さと弾性力が釣り合う位置に原点を設定すると簡単に解けるケースが多いです。鉛直ばね振り子について自然長の位置を原点においても問題は解けるのですが、その場合は単振動の中心がずれている状態で計算をしないといけないので少し計算が面倒になります。